Question

已知直线y=2与函数f（x）=2sin²ωx+2

3

sinωxcosωx-1（ω＞0）的图象的两个相邻交点之间的距离为π．
（I）求f（x）的解析式，并求出f（x）的单调递增区间；
（II）将函数f（x）的图象向左平移

π

4

个单位得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的最大值及g（x）取得最大值时x的取值集合．

Answer 1

分析：（I）化简函数f（x）=2sin²ωx+2

3

sinωxcosωx-1为一个角的一个三角函数的形式，利用已知体积求出ω，即可求出f（x）的解析式，利用正弦函数的单调增区间求出f（x）的单调递增区间；
（II）将函数f（x）的图象向左平移

π

4

个单位得到函数g（x）的图象，求出函数g（x）的最大值及g（x）取得最大值时x的取值集合．

解答：解：（I）函数f（x）=2sin²ωx+2

3

sinωxcosωx-1=-cos2ωx+

3

sin2ωx=2sin（2ωx-

π

6

）
因为直线y=2与函数f（x）=2sin²ωx+2

3

sinωxcosωx-1（ω＞0）的图象的两个相邻交点之间的距离为π，
所以T=π，ω=2，所以函数的解析式为：y=2sin（2x-

π

6

）
由：2x-

π

6

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，k∈Z，
解得：x∈[kπ-

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z
（II）将函数f（x）的图象向左平移

π

4

个单位得到函数g（x）=2sin（2x+

π

3

）的图象，
所以函数g（x）的最大值为：2，此时2x+

π

3

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

π

12

，其中k∈Z．
所以当x=kπ+

π

12

，其中k∈Z．
g（x）取得最大值，x取值集合为：{x|x=kπ+

π

12

，k∈Z}（12分）

点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，函数的周期的求法，最大值的求法，考查计算能力．常考题型．