Question

【题目】已知直线 是椭圆 的右准线，若椭圆的离心率为 ，右准线方程为x=2．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）已知一直线AB过右焦点F（c，0），交椭圆Γ于A，B两点，P为椭圆Γ的左顶点，PA，PB与右准线交于点M（xM ， yM），N（xN ， yN），问yMyN是否为定值，若是，求出该定值，否则说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意：椭圆的离心率e= = ， =2，则a= ，b=1，c=1，

故椭圆Γ方程为

（2）解：设AB的方程：x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），

则 ，整理得：（m2+2）y2+2my﹣1=0，

△=（﹣2m）2+4（m2+2）＞0，

由韦达定理得：y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣ ，

直线PA：y= （x+ ），

令x=2，得yM= （2+ ），

同理：yN= （2+ ），

∴yMyN= = ，

= ，

= ，

= ，

= = =﹣1，

yMyN=﹣1，

yMyN是否为定值，定值为﹣1

【解析】（1）由题意可知：e= = ， =2，即可求得a和b的值，求得椭圆Γ的方程；（2）设AB的方程：x=my+1，代入椭圆方程由韦达定理求得直线PA的方程，代入即可求得yM= （2+ ），yN= （2+ ），yMyN= = ，代入即可求得yMyN=﹣1．