【题目】已知函数f(x)=x﹣alnx,(a∈R).
(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数;
(2)设g(x)=﹣ ,若不等式f(x)>g(x)对任意x∈[1,e]恒成立,求a的取值范围.
【答案】
(1)解:f(x)=x﹣alnx,(x>0),
f′(x)=1﹣ = ,
①a≤0时,f′(x)>0,f(x)递增,f(x)无极值;
②a>0时,令f′(x)>0,解得:x>a,令f′(x)<0,解得:0<x<a,
∴f(x)在(0,a)递减,在(a,+∞)递增,
f(x)有1个极小值点;
(2)解:若不等式f(x)>g(x)对任意x∈[1,e]恒成立,
令h(x)=f(x)﹣g(x),即h(x)最小值>0在[1,e]恒成立,
则h(x)=x﹣alnx+ (a∈R),
∴h′(x)=1﹣ ﹣ = ,
①当1+a≤0,即a≤﹣1时,在[1,e]上为增函数,f(x)min=f(1)=1+1+a>0,
解得:a>﹣2,即﹣2<a≤﹣1,
当a>﹣1时
①当1+a≥e时,即a≥e﹣1时,f(x)在[1,e]上单调递减,
∴f(x)min=f(e)=e+ ﹣a>0,解得a< ,
∵ >e﹣1,
∴e﹣1≤a< ;
②当0<1+a≤1,即﹣1<a≤0,f(x)在[1,e]上单调递增,
∴f(x)min=f(1)=1+1+a>0,
解得a>﹣2,故﹣2<a<﹣1;
③当1<1+a<e,即0<a<e﹣1时,f(x)min=f(1+a),
∵0<ln(1+a)<1,
∴0<aln(1+a)<a,
∴f(1+a)=a+2﹣aln(1+a)>2,此时f(1+a)>0成立,
综上,﹣2<a< 时,不等式f(x)>g(x)对任意x∈[1,e]恒成立
【解析】(1)先求导,再分类讨论,得到函数的单调区间,从而求出函数的极值点的个数;(2)由题意,只要求出函数f(x)min>0即可,利用导数和函数的最值的关系,进行分类讨论,即可得到a的范围.
【考点精析】认真审题,首先需要了解函数的极值与导数(求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值),还要掌握函数的最大(小)值与导数(求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值)的相关知识才是答题的关键.
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【题目】在区间D上,若函数y=f(x)为增函数,而函数 为减函数,则称函数y=f(x)为区间D上的“弱增”函数.则下列函数中,在区间[1,2]上不是“弱增”函数的为( )
A.
B.
C.g(x)=x2+1
D.g(x)=x2+4
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【题目】下列3个命题: 1)函数f(x)在x>0时是增函数,x<0也是增函数,所以f(x)是增函数;
2)若函数f(x)=ax2+bx+2与x轴没有交点,则b2﹣8a<0且a>0;
3)y=x2﹣2|x|﹣3的递增区间为[1,+∞).
其中正确命题的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
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【题目】2017年“十一”期间,高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速()分成六段: , , , , , ,后得到如图的频率分布直方图.
(1)求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值;
(2)若从车速在的车辆中任抽取2辆,求车速在的车辆恰有一辆的概率.
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【题目】已知函数f(x)=bax(a,b为常数且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,8),B(3,32)
(1)试求a,b的值;
(2)若不等式( )x+( )x﹣m≥0在x∈(﹣∞,1]时恒成立,求实数m的取值范围.
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