Question

【题目】已知函数．

(Ⅰ)求函数的单调区间和极值；

(Ⅱ)若，均有，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) 增区间是，减区间是,函数有极小值为 ;(2) .

【解析】试题分析：I）先求函数的导函数f′（x），再解不等式f′（x）＞0，得函数的单调增区间，解不等式f′（x）＜0得函数的单调减区间，最后由极值定义求得函数极值

（II）构造新函数，将恒成立问题转化为求新函数的最大值问题，利用导数先求此函数的单调区间，再确定其最大值，最后解不等式求得实数a的取值范围

试题解析：

由题意， ，

（Ⅰ）由得，函数的单调增区间是；

由得，函数的单调减区间是

∴当时，函数有极小值为

（Ⅱ）法一，由于，均有，

即， 恒成立，

∴， ，

由（Ⅰ），函数极小值即为最小值，

∴，解得．

法二，因为，所以不等式等价于，即

设，则，

而，

显然当时， ，函数单调递增；

当时， ，函数单调递减，

所以函数的最大值为，

由不等式恒成立可得，解得．