Question

设f（log_ax）=
（1）求f（x）的表达式，并判断f（x）的奇偶性；
（2）试证明：函数f（x）的图象上任意两点的连线的斜率大于0；
（3）对于f（x），当x∈（-1，1）时，恒有f（1-m）+f（1-m²）＜0求m的取值范围．

Answer 1

解：（1）令t=log_ax（ t∈R），可得 x=a^t，代入f（log_ax）= 中，得 f（t）=（ ），
∴f（x）= （），
f（x）的定义域为R，关于原点对称，且f（-x）=（ ）=-（）=-f（x），故f（x）为奇函数．

（2）当a＞1时，＞0，为增函数，故 f（x）= （） 在R上是增函数．

当 0＜a＜1时，＜0，为减函数，故 f（x）= （） 在R上是增函数．

综上，f（x）为增函数，由增函数的定义知：对任意x₁＜x₂，有 f（x₁）＜f（x₂），∴＞0，
故任意两点的连线斜率都大于零．
（3）由（1）知f（x）为奇函数，由（2）知f（x）在（-1，1）上为增函数，
故有-1＜1-m＜m²-1＜1，解得 1＜m＜，即m的取值范围为（1，）．
分析：（1）用换元法求函数的解析式，再根据函数的奇偶性的定义判断函数f（x）为奇函数．
（2）分当a＞1时和 0＜a＜1时两种情况，根据的符号以及的单调性，判断f（x）的单调性，从而得出结论．
（3）根据f（x）为奇函数，在（-1，1）上为增函数，可得-1＜1-m＜m²-1＜1，由此求得m的取值范围．
点评：本题主要考查用换元法求函数的解析式，函数的奇偶性和单调性的应用，直线的斜率公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．