Question

（2012•昌平区一模）已知D是由不等式组

x-y≥0 x+ 3 y≥0

所确定的平面区域，则圆x²+y²=4在区域D内的弧长为

5π

6

；该弧上的点到直线3x+y+2=0的距离的最大值等于

2+

10

5

．

Answer 1

分析：结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用圆的方程画出图形，最后利用弧长公式计算即可．
先设出与已知直线平行的直线方程，利用直线与圆相切求出直线方程，再求两直线间的距离问题即可（把问题转化为求两直线间的距离求解）．

解答：解：满足约束条的可行域D，
及圆x²+y²=4在区域D内的弧，如下图示：
∵直线x-y=0与直线x+

3

y=0
的倾斜角分别为45°以及150°；
∴圆在平面区域内的弧长为：

π

6

×2+

π

4

×2=

5π

6

．
设与直线3x+y+2=0平行的直线方程为：3x+y+c=0
当直线3x+y+c=0与圆相切时，切点到已知直线的距离最远；
因为：d=

|c|

32+12

=2⇒c=-2

10

，（c=2

10

舍）
即切线方程为：3x+y-2

10

=0
此时两平行线间的距离为：

|2-(-2 10 )|

32+12

=2+

10

5

．
即该弧上的点到直线3x+y+2=0的距离的最大值等于2+

10

5

．
故答案为：

5π

6

，2+

10

5

．

点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．