Question

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，下面结论错误的序号是     ．
①BD∥平面CB₁D₁；
②AC₁⊥BD；
③AC₁⊥平面CB₁D₁；
④异面直线AD与CB₁所成角为60°．

Answer 1

【答案】分析：利用正方体的性质，利用线线平行的判定，线面平行、垂直的判定和性质，逐一分析研究各个选项的正确性．
解答：解：由正方体的性质得，BD∥B₁D₁，所以，BD∥平面CB₁D₁；故①正确．
由正方体的性质得 AC⊥BD，而AC是AC₁在底面ABCD内的射影，由三垂线定理知，AC₁⊥BD，故②正确．
由正方体的性质得 BD∥B₁D₁，由②知，AC₁⊥BD，所以，AC₁⊥B₁D₁，同理可证AC₁⊥CB₁，
故AC₁垂直于平面CB₁D₁内的2条相交直线，所以，AC₁⊥平面CB₁D₁ ，故③成立．
异面直线AD与CB₁所成角就是BC与CB₁所成角，故∠BCB₁ 为异面直线AD与CB₁所成角，
等腰直角三角形BCB₁ 中，∠BCB₁=45°，故④不正确．
故答案为：④．
点评：本题考查线面平行的判定，利用三垂线定理证明2条直线垂直，线面垂直的判定，求异面直线成的角．