Question

热心支持教育事业的李先生虽然并不富裕，但每年都要为山区小学捐款．今年打算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望桌椅的数量之和尽可能多，但椅子数不能少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少张才合适？

Answer 1

分析：设桌子、椅子各买x张和y张，则所买桌椅的总数为z=x+y．依题意得不等式组  

x≤y y≤1.5x 50x+20y≤2000

，所表示的平面区域是以A（

200

7

， 

200

7

）、B（25， 

75

2

）、O（0，0）为顶点的△AOB的边界及其内部，作直线l₀：y=-x．由图形可知，把直线l₀平移至过点B（25， 

75

2

）时，z取最大值．

解答：解：设桌子、椅子各买x张和y张，则所买桌椅的总数为z=x+y．
依题意得不等式组  

x≤y y≤1.5x 50x+20y≤2000

其中x，y∈N₊．…（4分）
由

y=x 50x+20y=2000

解得

x= 200 7 y= 200 7 .

由

y=1.5x 50x+20y=2000

解得

x=25 y= 75 2 .

…（6分）
设点A的坐标为（

200

7

， 

200

7

），点B的坐标为（25， 

75

2

），
则前面的不等式组所表示的平面区域是以A（

200

7

， 

200

7

）、
B（25， 

75

2

）、O（0，0）为顶点的△AOB的边界及其内部（如图中阴影所示）．                           …（9分）
令z=0，得 x+y=0，即 y=-x．作直线l₀：y=-x．由图形可知，把直线l₀平移至过点B（25， 

75

2

）时，亦即x=25，y=

75

2

时，z取最大值．
因为 x，y∈N₊，所以x=25，y=37时，z取最大值．
故买桌子25张，椅子37张较为合适．                                                       …（12分）

点评：本小题主要考查不等式和线性规划等基本知识，考查运用数学知识解决实际问题的能力．