Question

(本题满分12分)F₁、F₂分别是双曲线x²-y²＝1的两个焦点，O为坐标原点，圆O是以F₁F₂为直径的圆，直线l：y＝kx+b (b>0)与圆O相切，并与双曲线相交于A、B两点.（Ⅰ）根据条件求出b和k满足的关系式；（Ⅱ）向量在向量方向的投影是p，当(×)p²＝1时，求直线l的方程；（Ⅲ）当(×)p²=m且满足2≤m≤4时，求DAOB面积的取值范围.

Answer 1

(Ⅰ)b²=2(k²+1)  (k¹±1,b>0)  (Ⅱ) y=±x+ （Ⅲ）[3]

：（Ⅰ）b和k满足的关系式为b²=2(k²+1)  (k¹±1,b>0)………3分
（Ⅱ）设A(x₁,y₁) B(x₂,y₂)，则由消去y得(k²-1)x²+2kbx+b²+1=0，其中k²¹1……4分
∴×=x₁x₂+y₁y₂=(1+k²)x₁x₂+kb(x₁+x₂)+b²= + + 2(k²+1)
由于向量方向上的投影是p∴p²=cos²<,>=     …6分
∴(×)×p²= + +2=1Þk=±∵b²=2(k²+1)  (k¹±1,b>0)， 故b=，经检验适合D＞0
∴直线l的方程为y=±x+ …………8分
（Ⅲ）类似于（Ⅱ）可得+ +2=m∴k²="1+" ， b²="4+" 根据弦长公式
得 …10分
则S_DAOB= |AB|×=而mÎ[2,4]，∴DAOB的面积的取值范围是[3]  12分