Question

（2012•浙江）定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C₁：y=x²+a到直线l：y=x的距离等于曲线C₂：x²+（y+4）²=2到直线l：y=x的距离，则实数a=

9

4

．

Answer 1

分析：先根据定义求出曲线C₂：x²+（y+4）²=2到直线l：y=x的距离，然后根据曲线C₁：y=x²+a的切线与直线y=x平行时，该切点到直线的距离最近建立等式关系，解之即可．

解答：解：圆x²+（y+4）²=2的圆心为（0，-4），半径为

2

圆心到直线y=x的距离为

4

2

=2

2

∴曲线C₂：x²+（y+4）²=2到直线l：y=x的距离为2

2

-

2

=

2

则曲线C₁：y=x²+a到直线l：y=x的距离等于

2

令y′=2x=1解得x=

1

2

，故切点为（

1

2

，

1

4

+a）
切线方程为y-（

1

4

+a）=x-

1

2

即x-y-

1

4

+a=0
由题意可知x-y-

1

4

+a=0与直线y=x的距离为

2

即

|a- 1 4 |

2

=

2

解得a=

9

4

或-

7

4

当a=-

7

4

时直线y=x与曲线C₁：y=x²+a相交，故不符合题意，舍去
故答案为：

9

4

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及点到直线的距离的计算，同时考查了分析求解的能力，属于中档题．