Question

设0＜a＜1，α，β是方程a^x|log_a（-x）|=1的两根，则αβ与1的大小关系是（　　）

• A、αβ＞1
• B、αβ=1
• C、αβ＜1
• D、不确定，与α有关

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可得，α，β是函数y=a^-x=(

1

a

)x的图象和函数 y=|log_a（-x）|的图象的交点的横坐标．不妨设α＜β，由 log_a（-β）=a^-β、-log_a（-α）=a^-α，可得 log_a（α•β）=a^-β-a^-α＞0，可得α•β的范围．

解答： 解：方程a^x|log_a（-x）|=1，即 a^x =|log_a（-x）|，x＜0，
则由题意可得，α，β是函数y=a^-x=(

1

a

)x的图象（蓝色部分）
和函数 y=|log_a（-x）|的图象（红色部分）的交点的横坐标，
不妨设α＜β，则有α＜-1＜β＜0，-α＞1＞-β＞0，如图所示：
由0＜a＜1，可得 log_a（-β）=a^-β ①，-log_a（-α）=a^-α ②，
①-②可得 log_a（α•β）=a^-β-a^-α＞0，∴0＜α•β＜1，
故选：C．

点评：本题主要考查根的存在性以及根的个数判断，函数的图象和性质的应用，体现了数形结合与转化的数学思想，属于基础题．