Question

已知数列{a_n}前n项和为S_n，且满足，a_n+2S_nS_n-1=0（n≥2）
（1）求证：是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）记数列{b_n}的通项公式，T_n=b₁+b₂+…+b_n若（m∈z）恒成立，求m的最小值．

Answer 1

解：（1）证明：∵，a_n+2S_nS_n-1=0 （n≥2），故 S_n-S_n-1 +2S_nS_n-1=0，∴-=2，
故是以2为公差、以2为首项的等差数列．
（2）由（1）可得=2+（n-1）2=2n，∴S_n =，S_n-1=．
∴a_n =S_n-S_n-1=-=，（n≥2）．
综上可得 a_n =．

（3）∵，故 ①
∴②
①-②：=，
∴，
再由 恒成立，
∴m≥4，故m的最小值等于4．
分析：（1）把已知条件变形可得 -=2，故是以2为公差、以2为首项的等差数列．
（2）由（1）可得=2+（n-1）2=2n，S_n =，S_n-1=．由n≥2时，a_n =S_n -S_n-1 求出数列{a_n}的通项公式．
（3）由于 ，用错位相减法求出它的前n项和T_n 的值，再由 恒成立，得m≥4，由此求得m的最小值
点评：本题主要考查等差关系的确定，用错位相减法对数列进行求和，数列的第n项与前n项和的关系，数列与不等式的综合，函数的恒成立问题，属于难题．