Question

 已知二次函数f(x)=ax²+bx,f(x+1)为偶函数,函数f(x)的图象与直线y=x相切.

（I）求f(x)的解析式;

（II）已知k的取值范围为[,+∞),则是否存在区间[m, n](m<n),使得f(x)在区间[m,n]上的值域恰好为[km,kn]?若存在,请求出区间[m,n];若不存在,请说明理由.

Answer 1

解：(1)∵f(x+1)为偶函数,∴f(-x+1)=f(x+1),即a(-x+1)²+b(-x+1)=a(x+1)²+b(x+1)恒成立,即(2a+b)x=0恒成立,∴2a+b=0,∴b=-2a,∴f(x)=ax²-2ax,∵函数f(x)的图象与直线y=x相切,

∴二次方程ax²-(2a+1)x=0有两相等实数根,∴Δ=(2a+1)²-4a×0=0,

∴a=,f(x)=- x²+x.         ......5分

(2)∵f(x)=- (x-1)²+≤,∴[km,kn]⊆(-∞,],∴kn≤,又k≥,∴n≤≤,

又[m,n]⊆ (-∞,1],f(x)在[m,n]上是单调增函数,即-

即m,n为方程-x²+x=kx的两根,解得x₁=0,x₂=2-2k. ∵m<n且k≥.

故当≤k<1时,[m,n]=[0,2-2k]; 当k>1时,[m,n]=[2-2k,0];  当k=1时,[m,n]不存在.       ......12分