函数f(x)的定义域为A,若x1,x2∈A,且f(x1)=f(x2)时总有x1=x2,则称f(x)为单函数.例如f(x)=2x+1(x∈R)是单函数,下列命题:
①函数f(x)=x2(x∈R)是单函数;
②函数f(x)=2x(x∈R)是单函数,
③若f(x)为单函数,x1,x2∈A且x1≠x2,则f(x1)≠f(x2);
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数
其中的真命题是________(写出所有真命题的编号)
②③④
分析:根据单函数的定义f(x1)=f(x2)时总有x1=x2,可知函数f(x)则对于任意b∈B,它至多有一个原象,而①f(-1)=f(1),显然-1≠1,可知它不是单函数,②③④都是,可得结果.
解答:∵若x1,x2∈A,且f(x1)=f(x2)时总有x1=x2,则称f(x)为单函数
∴①函数f(x)=x2不是单函数,∵f(-1)=f(1),显然-1≠1,∴函数f(x)=x2(x∈R)不是单函数;
②∵函数f(x)=2x(x∈R)是增函数,∴f(x1)=f(x2)时总有x1=x2,即②正确;
③∵f(x)为单函数,且x1≠x2,
若f(x1)=f(x2),则x1=x2,与x1≠x2矛盾
∴③正确;
④同②;
故答案为:②③④.
点评:此题是个基础题.考查学生分析解决问题的能力和知识方法的迁移能力.