Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0）的右顶点为A，点M在椭圆上，且它的横坐标为1，点B（0，

3

），且

AB

=2

AM

．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点A的直线l与椭圆交于另一点N，若线段AN的垂直平分线经过点（

6

13

，0），求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由

AB

=2

AM

可知：M是AB的中点，由A（a，0），B（0，

3

），点M的横坐标为1，即可得出M，代入椭圆的方程即可得出b；
（2）A（2，0），设l的方程为y=k（x-2），代入椭圆方程解得N(

8k2-2

4k2+1

，

-4k

4k2+1

)，可得线段AN的中点为(

8k2

4k2+1

，

-2k

4k2+1

)，利用斜率计算公式即可得出．

解答： 解：（1）由

AB

=2

AM

可知：M是AB的中点，
∵A（a，0），B（0，

3

），点M的横坐标为1，
∴a=2，M(1，

3

2

)，将点M坐标代入椭圆方程得b²=1，
∴椭圆方程为

x2

4

+y2=1．
（2）A（2，0），设l的方程为y=k（x-2），代入椭圆方程解得N(

8k2-2

4k2+1

，

-4k

4k2+1

)，
线段AN的中点为(

8k2

4k2+1

，

-2k

4k2+1

)，
∴

-2k 4k2+1

8k2 4k2+1 - 3 16

=-

1

k

，
化为k2=

1

9

，
解得k=±

1

3

，
∴直线l的方程为y=±

1

3

(x-2)．

点评：本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立、中点坐标公式、斜率计算公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．