【题目】如图,已知正方形和矩形所在平面互相垂直, , .
(1)求二面角的大小;
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)60°.(2).
【解析】试题分析:(1)先根据条件建立空间直角坐标系,设各点坐标,根据方程组求各面法向量,再根据向量数量积求夹角,最后根据二面角与向量夹角关系得结果(2)根据向量投影得点到平面的距离为再根据向量数量积求值
试题解析: 正方形和矩形所在平面互相垂直,
分别以AB,AD,AF为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(,0,0), C(, ,0), D(0, ,0),
E(, ,1),F(0,0,1).
(1)设平面CDE的法向量为平面BDE的法向量,
由 解得.
∴ ,
∴ 二面角 B—DE—C等于60°.
(2)
,
.设点到平面BDF的距离为h,则
∴.所以点F到平面BDE的距离为.
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【题目】设椭圆的方程为(),点为坐标原点,点, 的坐标分别为, ,点在线段上,满足,直线的斜率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若斜率为的直线交椭圆于, 两点,交轴于点(),问是否存在实数使得以为直径的圆恒过点?若存在,求的值,若不存在,说出理由.
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【题目】已知圆C过点M(0,-2)、N(3,1),且圆心C在直线x+2y+1=0上.
(1)求圆C的方程;
(2)设直线ax-y+1=0与圆C交于A,B两点,是否存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】根据某水文观测点的历史统计数据,得到某河流水位(单位:米)的频率分布直方图如下:将河流水位在以上6段的频率作为相应段的概率,并假设每年河流水位互不影响.
(Ⅰ)求未来三年,至多有1年河流水位的概率(结果用分数表示);
(Ⅱ)该河流对沿河企业影响如下:当时,不会造成影响;当时,损失10000元;当时,损失60000元,为减少损失,现有三种应对方案:
方案一:防御35米的最高水位,需要工程费用3800元;
方案二:防御不超过31米的水位,需要工程费用2000元;
方案三:不采用措施:试比较哪种方案较好,并说明理由.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,已知圆的圆心坐标为,半径为,以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线的参数方程为: (为参数)
(1)求圆和直线的极坐标方程;
(2)点 的极坐标为,直线与圆相较于,求的值.
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【题目】已知射手甲射击一次,命中9环(含9环)以上的概率为0.56,命中8环的概率为0.22,命中7环的概率为0.12.
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(1)求甲射击一次,命中不足8环的概率;
(2)求甲射击一次,至少命中7环的概率.
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【题目】(本小题满分12分)
如图,在四棱锥P—ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.
(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的余弦值;
(Ⅲ)求点A到平面PCD的距离.
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