Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），直线L的倾斜角为60°，直线L过C的右焦点F₂，且与C相交于A，B两点（A，B可互换），若

AF2

=λ

F2B

，则λ的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：计算题,平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意知y₁＞0，y₂＜0．直线l的方程 y=

3

（x-c），代入椭圆方程消掉x得y的二次方程，解出两根y₁，y₂，由

AF2

=λ

F2B

，得-y₁=λy₂．代入得a，b，c的关系式，化简可得

c

a

，即离心率，由0＜e＜1，即可得到．

解答： 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意知y₁＞0，y₂＜0．
直线l的方程为y=

3

（x-c），其中c=

a2-b2

．
联立

y= 3 (x-c) x2 a2 + y2 b2 =1

得（3a²+b²）y²+2

3

b²cy-3b⁴=0，
解得y₁=

- 3 b2(c+2a)

3a2+b2

，y₂=

- 3 b2(c-2a)

3a2+b2

，
因为

AF2

=λ

F2B

，
所以-y₁=λy₂．即-

- 3 b2(c+2a)

3a2+b2

=λ•

- 3 b2(c-2a)

3a2+b2

，
所以（1+λ）c=（2λ-2）a，得离心率e=

c

a

=

2λ-2

1+λ

，
由0＜e＜1，解得1＜λ＜3或

1

3

＜λ＜1．
故答案为：（

1

3

，1）∪（1，3）．

点评：本题考查椭圆方程的求解、直线与圆锥曲线的位置关系，考查学生的运算能力，韦达定理及弦长公式是解决该类问题常用知识，应熟练掌握．