Question

试证方程x³－6x²＋9＝0在区间(0，1)内不可能有两个不同的实根．

Answer 1

答案：
解析：

证法一：令函数f(x)＝x3－6x2＋9， 　　借助计算机或计算器画出函数f(x)的图象如图所示， 　　且有f(－2)·f(－1)＜0，f(1)·f(2)＜0， 　　f(5)·f(6)＜0， 　　根据函数有零点的判定定理，得函数f(x)的零点所在的大致区间为(－2，－1)或(1，2)或(5，6)，而f(x)在区间(0，1)上无零点，所以方程x3－6x2＋9＝0在区间(0，1)上无实根． 　　综上，方程x3－6x2＋9＝0在区间(0，1)内不可能有两个不同的实根． 　　 　　这说明假设函数f(x)在区间(0，1)上有零点的话，也只能有一个，也绝不能有两个，从而证得方程f(x)＝0在区间(0，1)内不可能有两个不同的实根．

提示：

思路分析：由于方程的根是相应函数的零点，所以只需判断函数f(x)＝x3－6x2＋9在区间(0，1)上零点的个数是否能有两个就可以了． 　　思想方法小结：(1)证法一利用转化思想，把证明问题转化为求函数的零点的大致区间问题，可以化难为易，顺利地解决问题． 　　(2)由证法二可以得出：寻求方程的根，转化为寻求函数的单调区间，再根据函数在区间端点处的值的具体情况来确定方程的根的情况．