Question

3．已知过点A（-1，0）的动直线l与圆C：x²+（y-3）²=4相交于P、Q两点，M是PQ中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于N．
（1）当PQ=2$\sqrt{3}$时，求直线l的方程；
（2）探索$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$是否为定值，若是，请求出其值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过①当直线l与x轴垂直时，说明x=-1符合题意．②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），即kx-y+k=0，利用点到直线的距离求解即可求出直线方程．
（2）通过CM⊥AN转化为数量积为0，通过①当l与x轴垂直时，当L的斜率存在时，设直线L的方程为y=k（x+1），即kx-y+k=0，推出$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$为定值．

解答 解：（1）①当直线l与x轴垂直时，易知x=-1符合题意…（2分）
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），即kx-y+k=0，
∵PQ=2$\sqrt{3}$，∴CM=$\sqrt{4-3}$=1，则由CM=$\frac{|-k+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$，得k=$\frac{4}{3}$，
∴直线l：4x-3y+4=0．
故直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0…（6分）
（2）∵CM⊥AN，∴$\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{AN}=0$，$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=（\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}）•\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AN}$
…（8分）
①当l与x轴垂直时，易得N（-1，$-\frac{5}{3}$），则$\overrightarrow{AN}$=（0，$-\frac{5}{3}$），又$\overrightarrow{AC}=（1，3）$，
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AN}=-5$…（9分）
当L的斜率存在时，设直线L的方程为y=k（x+1），即kx-y+k=0，
则由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x+1）\\ x+3y+6=0\end{array}\right.$，得N（$\frac{-3k-6}{1+3k}$，$\frac{-5k}{1+#k}$），则$\overrightarrow{AN}$=（$\frac{-5}{1+3k}，\frac{-5k}{1+3k}$）
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AN}=\frac{-5}{1+3k}+\frac{-15k}{1+3k}=-5$
综上所述，$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$为定值，且$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=-5$．…（12分）

点评 本题考查圆的方程的综合应用，斜率的数量积的应用，考查计算能力，转化思想以及分类讨论思想的应用．