Question

已知函数f（x）的定义域是D={x∈R|x≠0}，对任意x₁，x₂∈D都有：f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），且当x＞1时，f（x）＞0．给出结论：
①f（x）是偶函数；
②f（x）是奇函数；
③f（x）在（0，+∞）上是增函数；
④f（x）在（0，+∞）上是减函数．
则正确结论的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：先探究函数f（x）的奇偶性：通过赋值，先令x₁=x₂=1，有f（1×1）=f（1）+f（1），由此可解得f（1）的值，再令x₁=x₂=-1，可求得f（-1）=0，最后再令x₁=-1，x₂=x，可判断函数的奇偶性，从而可判断①与②；再探究函数f（x）在（0，+∞）上上的单调性：利用定义，设x₁＞x₂＞0，则

x1

x2

＞1，依题意，易知f（x₁）＞f（x₂），即函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，从而可判断③与④．

解答： 解：先探究函数f（x）的奇偶性：
令x₁=x₂=1，有f（1×1）=f（1）+f（1）=2f（1），
∴f（1）=0；
再令x₁=x₂=-1，有f[（-1）×（-1）]=f（-1）+f（-1），即f（1）=2f（-1）=0，解得f（-1）=0；
再令x₁=-1，x₂=x，有f（-x）=f（-1）+f（x），
∴f（-x）=f（x），∴f（x）为偶函数．
故①正确，②错误；
再探究函数f（x）在（0，+∞）上上的单调性：
令x₁＞x₂＞0，则

x1

x2

＞1；
∵f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），且当x＞1时，f（x）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

•x2）-f（x₂）=f（

x1

x2

•x2）+f（x₂）-f（x₂）=f（

x1

x2

）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），即函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
故③正确，④错误；
故答案为：①③．

点评：本题考查抽象函数的应用，考查函数的奇偶性与单调性的分析与探究，突出考查赋值法的应用，属于中档题．