Question

为了加快县域经济的发展，某县选择两乡镇作为龙头带动周边乡镇的发展，决定在这两个镇的周边修建环形高速公路，假设一个单位距离为10km，两镇的中心A、B相距8个单位距离，环形高速公路所在的曲线为E，且E上的点到A、B的距离之和为10个单位距离，在曲线E上建一个加油站M与一个收费站N，使M、N、B三点在一条直线上，并且AM+AN=12个单位距离．
（1） 建立如图的直角坐标系，求曲线E的方程及M、N之间的距离有多少个单位距离；
（2）A、B之间有一条笔直公路Z与AB所在直线成45°，且与曲线E交于P，Q两点，该县招商部门引进外资在四边形PAQB区域开发旅游业，试问最大的开发区域是多少？（平方单位距离）

Answer 1

分析：（1）以AB为x轴，以A中点为原点O建立直角坐标系，设曲线上的点P（x，y），|PA|+|PB|=10＞|AB|=8，动点轨迹为椭圆，且a=5，由此能够求出曲线E的方程．再由|AM|+|AN|+|BM|+|BN|=20，|AM|+|AN|=12，能够求出|MN|．
（2）将y=x+t代入

x2

25

+

y2

9

=1，得34y²-18ty+9t²-25×9=0，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），再由根与系数的关系进行求解．

解答：解：（1）以AB为x轴，以A中点为原点O建立直角坐标系，设曲线上的点P（x，y），
∵|PA|+|PB|=10＞|AB|=8，
∴动点轨迹为椭圆，且a=5，c=4，b=3，
∴曲线E的方程是

x2

25

+

y2

9

=1．
由|AM|+|AN|+|BM|+|BN|=20，|AM|+|AN|=12，
∴|MN|=8．
（2）将y=x+t代入

x2

25

+

y2

9

=1，得34y²-18ty+9t²-25×9=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则y1+y2=

9t

17

，y1y2=

9t2-25×9

34

，
|y₁-y₂|=

(y1+y2) 2-4y1y2

=

1

17

50×9×17-9×25t2

．
S=S△ABP+S△ABQ=

1

2

AB•|y1-y2|
=

8

34

50×9×17-9×25t2

．
∴当t=0时，面积最大是

60

17

34

，此是直线为l：y=x．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理选用