Question

【题目】△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量 =（a，c）， =（1﹣2cosA，2cosC﹣1），
（Ⅰ）若b=5，求a+c值；
（Ⅱ）若 ，且角A是△ABC中最大内角，求角A的大小．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因为： ，
所以，2sinAcosC﹣sinA=sinC﹣2sinCcosA，
可得：2sinAcosC+2sinCcosA=2sin（A+C）=sinC+sinA，
所以，sinA+sinC=2sinB，
由正弦定理得2b=a+c=10．
（Ⅱ） ，
又因为sinA+sinC=2sinB=sinA+sin（π﹣A﹣B），
则，2sinA+cosA=2，
又sin2A+cos2A=1，
所以，解得 ，
由于A是最大角，
所以， ．
【解析】（Ⅰ）利用平面向量平行的性质，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理可求sinA+sinC=2sinB，由正弦定理及已知即可得解．（Ⅱ）由已知利用倍角公式，同角三角函数基本关系式可求sinB，cosB的值，可求2sinA+cosA=2，联立sin2A+cos2A=1即可解得cosA的值，结合A是最大角，即可得解A的值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解正弦定理的定义(正弦定理:)．