Question

已知f（x）=log_ax，g（x）=2log_a（2x+t-2）（a＞0，a≠1，t∈R）．
（1）当t=4，x∈[1，2]，且F（x）=g（x）-f（x）有最小值2时，求a的值；
（2）当0＜a＜1，x∈[1，2]时，有f（x）≥g（x）恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当t=4，x∈[1，2]，且F（x）=g（x）-f（x）有最小值2时，求a的值；
（2）当0＜a＜1，x∈[1，2]时，有f（x）≥g（x）恒成立，求实数t的取值范围．

解答：解：（1）当t=4时，
F（x）=g（x）-f（x）=log_a

(2x+2)2

x

，x∈[1，2]，
令h（x）=

(2x+2)2

x

=4(x+

1

x

+2)，x∈[1，2]，
设u=x+

1

x

，x∈[1，2]作出u（x）的图象可知
u（x）=x+

1

x

在[1，2]上为单调增函数．
∴h（x）在[1，2]上是单调增函数，
∴h（x）_min=16，h（x）_max=18．
当0＜a＜1时，有F（x）_min=log_a18，
令log_a18=2，求得a=3

2

＞1（舍去）；
当a＞1时，有F（x）_min=log_a16，
令log_a16=2，求得a=4＞1．∴a=4．
（2）当0＜a＜1，x∈[1，2]时，有f（x）≥g（x）恒成立，
即当0＜a＜1，x∈[1，2]时，
log_ax≥2log_a（2x+t-2）恒成立，
由log_ax≥2log_a（2x+t-2）可得
log_a

x

≥log_a（2x+t-2），
∴

x

≤2x+t-2，∴t≥-2x+

x

+2．
设u（x）=-2x+

x

+2=-2（

x

）²+

x

+2=-2(

x

-

1

4

)²+

17

8

，
∵x∈[1，2]，∴

x

∈[1，

2

]．
∴u（x）_max=u（1）=1．
∴实数t的取值范围为t≥1．

点评：1、本题考查了利用函数的单调性求最值的知识，特别是与分类讨论相贯穿使此题更显综合；
2、第二问考查了恒成立问题，要注意学习由已知向对数不等式转化的能力，由对数不等式向二次不等式转化的能力．同时本题当中体现的游离参数思想亦值得学习．