【题目】已知函数.
(1)若,其中为自然对数的底数,求函数的单调区间;
(2)若函数既有极大值,又有极小值,求实数的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)且且.
【解析】试题分析:把值带入后对求导,分子提取公因式是重要的一步,由于的正负不清楚,所以设为二次求导,发现的单调性及零点,最后根据的符号说明单调性;对求导,研究因式,得,这是非常智慧的一步变形.针对函数求导研究单调性求出极值,模拟图象得出解答.
试题解析:(1),
由知,
设,
则, ,
∴,∴在上单调递增,观察知,
∴当时, , 单调递增;
当时, , 单调递减;
当时, , 单调递增.
(2), ,
由,得.
设,则,由,得.
当时, , 单调递减;
当时, , 单调递增.
∴.
又时, 时,
∴,这是必要条件.
检验:当时, 既无极大值,也无极小值;当时,满足题意;当时, 只有一个极值点,舍去;当时,则,则.
综上,符合题意的的范围为且且.
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【题目】已知椭圆的焦点在轴上,且椭圆的焦距为2.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点的直线与椭圆交于两点,过作轴且与椭圆交于另一点, 为椭圆的右焦点,求证:三点在同一条直线上.
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【题目】已知等差数列{an}的前n项和为Sn , 公差d≠0,S5=4a3+6,且a1 , a3 , a9成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{ }的前n项和公式.
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【题目】某鲜花店根据以往某品种鲜花的销售记录,绘制出日销售量的频率分布直方图,如图所示.将日销售量落入各组区间的频率视为概率,且假设每天的销售量相互独立.
(1)求在未来的连续4天中,有2天的日销售量低于100枝且另外2天不低于150枝的概率;
(2)用表示在未来4天里日销售量不低于100枝的天数,求随机变量的分布列和数学期望.
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【题目】若一个四棱锥底面为正方形,顶点在底面的射影为正方形的中心,且该四棱锥的体积为9,当其外接球表面积最小时,它的高为( )
A.3
B.2
C.2
D.3
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【题目】已知圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=4,直线l过定点A(1,0).
(1)若l与圆C相切,求l的方程;
(2)若l与圆C相交于P、Q两点,若|PQ|=2 ,求此时直线l的方程.
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【题目】龙虎山花语世界位于龙虎山主景区排衙峰下,是一座独具现代园艺风格的花卉公园,园内汇集了余种花卉苗木,一年四季姹紫嫣红花香四溢.花园景观融合法、英、意、美、日、中六大经典园林风格,景观设计唯美新颖,玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点错落有致,交相呼应又自成一体,是世界园艺景观的大展示.该景区自年春建成,试运行以来,每天游人如织,郁金香、向日葵、虞美人等赏花旺季日入园人数最高达万人.
某学校社团为了解进园旅客的具体情形以及采集旅客对园区的建议,特别在年月日赏花旺季对进园游客进行取样调查,从当日名游客中抽取人进行统计分析,结果如下:
年龄 | 频数 | 频率 | 男 | 女 |
① | ② | ③ | ④ | |
4 | ||||
合计 |
(I)完成表一中的空位①~④,并作答题纸中补全频率分布直方图,并估计年月日当日接待游客中岁以下的游戏的人数.
(II)完成表二,并判断能否有的把握认为在观花游客中“年龄达到岁以上”与“性别”相关;
(表二)
岁以上 | 岁以下 | 合计 | |
男生 | |||
女生 | |||
合计 |
(参考公式: ,其中)
(III)按分层抽样(分岁以上与岁以下两层)抽取被调查的位游客中的人作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票,再从这人中选取人接受电视台采访,设这人中年龄在岁以上(含岁)的人数为,求的分布列.
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