分析:(Ⅰ)设M(x
0,y
0),根据条件
=(x1,y1 ),=(x2,y2)且•=0,
=cosθ•+sinθ•可求得x
02+3y
02=1,从而可证得结论;
(Ⅱ)设|OA|=p,|OB|=q,∠xOA=α,可求得A,B两点的坐标,代入x
2+3y
2=1,可整理得
+=4,应用基本不等式可求得
pq≥,从而
|OA|+|OB|=p+q≥2,问题解决.
解答:证明:(Ⅰ)∵
=(x1,y1),=(x2,y2)且•=0,
∴x
1x
2+3y
1y
2=0,
又
=cosθ•+sinθ•,
设M(x
0,y
0),则(x
0,y
0)=(x
1cosθ,y
1cosθ)+(x
2sinθ,y
2sinθ)=(x
1cosθ+x
2sinθ,y
1cosθ+y
2sinθ),
则x
02+3y
02=(x
1cosθ+x
2sinθ)
2+3(y
1cosθ+y
2sinθ)
2=(x
12+3y
12)cos
2θ+(x
22+3y
22)sin
2θ+2sinθcosθ(x
1x
2+3y
1y
2)
∵A(x
1,y
1),B(x
2,y
2)是椭圆x
2+3y
2=1上的两点,
∴x
12+3y
12=1,x
22+3y
22=1,又x
1x
2+3y
1y
2=0,
∴(x
12+3y
12)cos
2θ+(x
22+3y
22)sin
2θ+2sinθcosθ(x
1x
2+3y
1y
2)=cos
2θ+sin
2θ=1.故点M在椭圆上.
(Ⅱ)设|OA|=p,|OB|=q,∠xOA=α,
则
A(pcosα,psinα),B(qcos(+α),qsin(+α))则
| p2cos2α+3p2sin2α=1 | q2cos2(+α)+3q2sin2(+α)=1 |
| |
即 | cos2α+3sin2α= | sin2α+3cos2α= |
| |
从而
+=4,
故
p2+q2=4p2q2≥2pq,pq≥.
∴
|OA|+|OB|=p+q≥2≥.
||+||的最小值为
.
点评:本题考查椭圆的参数方程,难点在于解题思路的突破及基本不等式的灵活运用,属于难题.