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设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆x2+3y2=1上的两点,O为坐标原点.
(Ⅰ)设
m
=(x1
3
y1)
n
=(x2
3
y2)且
m
n
=0
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
(θ∈R).求证:点M在椭圆上;
(Ⅱ)若
OA
OB
=0
,求|
OA
|+|
OB
|
的最小值.
分析:(Ⅰ)设M(x0,y0),根据条件
m
=(x1
3
y1 ),
n
=(x2
3
y2)且
m
n
=0
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
可求得x02+3y02=1,从而可证得结论;
(Ⅱ)设|OA|=p,|OB|=q,∠xOA=α,可求得A,B两点的坐标,代入x2+3y2=1,可整理得
1
p2
+
1
q2
=4
,应用基本不等式可求得pq≥
1
2
,从而|OA|+|OB|=p+q≥2
pq
,问题解决.
解答:证明:(Ⅰ)∵
m
=(x1
3
y1),
n
=(x2
3
y2)且
m
n
=0

∴x1x2+3y1y2=0,
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB

设M(x0,y0),则(x0,y0)=(x1cosθ,y1cosθ)+(x2sinθ,y2sinθ)=(x1cosθ+x2sinθ,y1cosθ+y2sinθ),
则x02+3y02=(x1cosθ+x2sinθ)2+3(y1cosθ+y2sinθ)2=(x12+3y12)cos2θ+(x22+3y22)sin2θ+2sinθcosθ(x1x2+3y1y2
∵A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆x2+3y2=1上的两点,
∴x12+3y12=1,x22+3y22=1,又x1x2+3y1y2=0,
∴(x12+3y12)cos2θ+(x22+3y22)sin2θ+2sinθcosθ(x1x2+3y1y2)=cos2θ+sin2θ=1.故点M在椭圆上.
(Ⅱ)设|OA|=p,|OB|=q,∠xOA=α,
A(pcosα,psinα),B(qcos(
π
2
+α),qsin(
π
2
+α))

p2cos2α+3p2sin2α=1
q2cos2(
π
2
+α)+3q2sin2(
π
2
+α)=1
cos2α+3sin2α=
1
p2
sin2α+3cos2α=
1
q2

从而
1
p2
+
1
q2
=4

p2+q2=4p2q2≥2pq,pq≥
1
2

|OA|+|OB|=p+q≥2
pq
2

|
OA
|+|
OB
|
的最小值为
2
点评:本题考查椭圆的参数方程,难点在于解题思路的突破及基本不等式的灵活运用,属于难题.
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,直线l过点F交抛物线C于A、B两点.
(Ⅰ)设A(x1,y1),B(x2,y2),求
1
y1
+
1
y2
的取值范围;
(Ⅱ)是否存在定点Q,使得无论AB怎样运动都有∠AQF=∠BQF?证明你的结论.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设A(x1,y1),B(x2,y2)是函数f(x)=
1
2
+log2
x
1-x
的图象上两点,且
OM
=
1
2
(
OA
+
OB
)
,O为坐标原点,已知点M的横坐标为
1
2

(Ⅰ)求证:点M的纵坐标为定值;
(Ⅱ)定义定义Sn=
n-1
i=1
f(
i
n
)=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)
,其中n∈N*且n≥2,求S2011
(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的Sn,设an=
1
2Sn+1
(n∈N*)
.若对于任意n∈N*,不等式kan3-3an2+1>0恒成立,试求实数k的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
上的两点,已知O为坐标原点,椭圆的离心率e=
3
2
,短轴长为2,且
m
=(
x1
b
y1
a
),
n
=(
x2
b
y2
a
)
,若
m
n
=0

(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线AB过椭圆的焦点F(0,c)(c为半焦距),求△AOB的面积.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设A(x1,y1),B(x2,y2)是函数f(x)=
1
2
+log2
x
1-x
图象上任意两点,且
OM
=
1
2
OA
+
OB
),已知点M的横坐标为
1
2
,且有Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
),其中n∈N*且n≥2,
(1)求点M的纵坐标值;
(2)求s2,s3,s4及Sn
(3)已知an=
1
(Sn+1)(Sn+1+1)
,其中n∈N*,且Tn为数列{an}的前n项和,若Tn≤λ(Sn+1+1)对一切n∈N*都成立,试求λ的最小正整数值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)是抛物线y=x2上的三个动点,其中x3>x2≥0,△ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形.
(1)求证:直线BC的斜率等于x2+x3,也等于
x2-x1x3-x2

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