Question

关于x的方程有解，则m的取值范围是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   [1，+∞）

Answer 1

A
分析：令t=a^x，换元，构造方程t²+（1+）t+1=0，题意说明方程有正解，利用△≥0，以及韦达定理t₁+t₂=-（1+）＞0
t₁t₂=1＞0，来解m即可．
解答：令t=a^x，则原方程化为：
t²+（1+）t+1=0，这是个关于t的一元二次方程，
而且，由于t=a^x，根据指数函数（或是幂函数）的定义，必有t=a^x＞0，
∴此关于t的一元二次方程必然要存在实根，且实根无论个数如何，都必须使正的
方程有实根的条件是：
△=（1+）²-4≥0
1++（）²-4≥0
3--（）²≤0
m作为分母必有：m≠0，∴m²＞0，不等式两侧同时乘以m²，得：
3m²-2m-1≤0
-≤m≤1 ①
方程具有正实根的条件是：
t₁+t₂=-（1+）＞0
t₁t₂=1＞0
下面的式子显然成立，上面的不等式进一步化简有：
＜0
＜=＞-1＜m＜0 ②
取①，②的交集，就能得到m的取值范围是：
-≤m＜0
故选A．
点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，考查函数与方程的思想，换元法，考查计算能力，是中档题．