Question

设数列{a_n}满足a₁=2，an+1=an+2n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）去掉数列{a_n}中的第3项，第6项，第9项，…，第3n项…，余下的项按顺序不变，重新组成一个新数列{b_n}，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）a₁=2，因为an+1=an+2n所以an-an-1=2n-1an-1-an-2=2n-2，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）当n=2k时，Tn=T2k=(2+24+…+23k-2)+(22+25+…+23k-1)=

6(8 n 2 -1)

7

；当n=2k+1时，Tn=T2k+23k+1=

20•8 n-1 2 -6

7

+2

3n-1

2

，由此能求出T_n．

解答：解：（1）a₁=2，
因为an+1=an+2n
所以an-an-1=2n-1an-1-an-2=2n-2
…a2-a1=21
将上述等式两边分别相加，
得an-a1=21+22+…+2n-1=

2(1-2n-1)

1-2

，
所以an=2n．…（6分）
（2）当n=2k时，
Tn=T2k=(2+24+…+23k-2)+(22+25+…+23k-1)
=

6(8k-1)

7

…（10分）
=

6(8 n 2 -1)

7

；
当n=2k+1时，
Tn=T2k+23k+1
=

20•8k-6

7

+23k+1
=

20•8 n-1 2 -6

7

+2

3n-1

2

．…（14分）
综上可得T_n=

6•8 n-1 2 -6 7 ，n为偶数 20•8 n-1 2 -6 7 +2 3n-1 2 ，n为奇数

．…（16分）

点评：本题考查数列的通项公式和数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用．