分析 以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线BP与B1C所成角的取值范围.
解答 解:以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,
则B(2,2,0),C(0,2,0),B1(2,2,2),A1(2,0,2),C1(0,2,2),
设A1C1的中点为O,则O(1,1,2),
$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=(-2,0,-2),$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=(0,-2,2),$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=(-2,0,2),$\overrightarrow{BO}$=(-1,-1,2),
设异面直线BP与B1C所成角为θ,
当P与A1重合时,cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{B}_{1}C}•\overrightarrow{B{A}_{1}}|}{|\overrightarrow{{B}_{1}C}|•|\overrightarrow{B{A}_{1}}|}$=$\frac{|4|}{\sqrt{8}•\sqrt{8}}$=$\frac{1}{2}$,θ=$\frac{π}{3}$;
当P与O重合时,cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{B}_{1}C}•\overrightarrow{BO}|}{|\overrightarrow{{B}_{1}C}|•|\overrightarrow{BO}|}$=$\frac{|4|}{\sqrt{8}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,θ=arccos$\frac{\sqrt{3}}{3}$;
当P与C1重合时,cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{B}_{1}C}•\overrightarrow{B{C}_{1}}|}{|\overrightarrow{{B}_{1}C}|•|\overrightarrow{B{C}_{1}}|}$=$\frac{|0|}{\sqrt{8}•\sqrt{8}}$=0,$θ=\frac{π}{2}$,此时BP与B1C共面.
∴异面直线BP与B1C所成角的取值范围为[$\frac{π}{3},\frac{π}{2}$).
故答案为:[$\frac{π}{3}$,$\frac{π}{2}$).
点评 本题考查线面角取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
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A. | -$\frac{1}{3}$ | B. | 2 | C. | $\frac{1}{3}$ | D. | 3 |
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A. | $\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$与$\overrightarrow{{e}_{2}}$-$\overrightarrow{{e}_{1}}$ | B. | 2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$与-4$\overrightarrow{{e}_{′1}}$-6$\overrightarrow{{e}_{2}}$ | ||
C. | $\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$与$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$ | D. | -$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\frac{1}{8}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$与$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{{e}_{2}}$ |
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