Question

某数学老师对本校2013届高三学生的高考数学成绩按1：200进行分层抽样抽取了20名学生的成绩，并用茎叶图记录分数如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下所示的频率分布表：

分数段（分）	[50，70）	[70，90）	[90，110）	[110，130）	[130，150）	总计
频数				b
频率	a	0.25

（1）求表中a，b的值及分数在[90，100）范围内的学生人数，并估计这次考试全校学生数学成绩的及格率（分数在[90，150）内为及格）
（2）从成绩在[100，130）范围内的学生中随机选4人，设其中成绩在[100，110）内的人数为X，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析：（1）结合频率分布表与茎叶图给出的数据，先求a、b的值，再根据频率和为1，求分数在[90，110）范围内的学生数，从而求出分数分别在[90，100）和[70，90）的人数，计算及格率；
（2）由茎叶图可知分数在[100，130）范围内的有7人，分数在[100，110）范围内有4人，则随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，求出相应的概率，可求X的分布列及数学期望．

解答：（1）由茎叶图可知分数在[50，70]范围内的有2人，在[110，130]范围内有3人，
∴a=

2

20

=0.1，b=3，
分数在[70，90]内的人数20×0.25=5，结合茎叶图可得分数在[70，80]内的人数为2，
∴分数在[90，100]范围内的学生人数为4，故数学成绩及格的学生为13人，
∴估计这次考试全校学生数学成绩的及格率为

13

20

×100%=65%；
（2）由茎叶图可知分数在[100，130）范围内的有7人，分数在[100，110）范围内有4人，则随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，
相应的概率为：P（X=1）=

C 1 4 C 3 3

C 4 7

=

4

35

，P（X=2）=

C 2 4 C 2 3

C 4 7

=

18

35

，P（X=3）=

C 3 4 C 1 3

C 4 7

=

12

35

，P（X=4）=

C 4 4 C 0 3

C 4 7

=

1

35

随机变量X的分布列为

X	1	2	3	4
P	4 35	18 35	12 35	1 35

EX=1×

4

35

+2×

18

35

+3×

12

35

+4×

1

35

=2.2．

点评：本题考查了茎叶图，考查了古典概型的概率计算，考查随机变量的分布列及数学期望，考查学生的计算能力，正确求概率是关键．