Question

定义在非零实数集上的函数f（x）对任意非零实数x，y恒有f（xy）=f（x）+f（y），当x∈（0，+∞）时，f（x）为增函数，
且f（2）=1．
（1）求f（1），f（-1）的值，并求证：f（x）为偶函数；
（2）判断并证明f（x）在（-∞，0）的单调性；
（3）解不等式：f（x）-f（x-2）＞3．

Answer 1

分析：（1）先令x=y=1得到f（1）=f（-1）=0，从而得出f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x），f（x）为偶函数；
（2）结论是：f（x）在（-∞，0）为单调减函数；证明如下：设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）与零比较，得出f（x₁）＞f（x₂）故f（x）在（-∞，0）上是减函数．
（3）先得出f（x）＞f（x-2）+f（8）=f（8x-16），根据奇偶性和单调性得|x|＞|8x-16|解得答案即可．

解答：解：（1）令x=y=1得：
f（1）=f（-1）=0，
f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x）
∴f（x）为偶函数；
（2）f（x）在（-∞，0）为单调减函数；
设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+x₂]-f（x₂）=f（x₂）[f（x₁-x₂）-1]
∵x₁-x₂＜0
∴f（x₁-x₂）＞f（0）=1
∴f（x₁-x₂）-1＞0
对f（x₂）＞0
∴f（x₂）f[（x₁-x₂）-1]＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）故f（x）在（-∞，0）上是减函数．
（3）f（2）=1得f（4）=2，f（8）=3，
所以f（x）＞f（x-2）+f（8）=f（8x-16）
根据奇偶性和单调性得|x|＞|8x-16|，x²＞（8x-16）²，即63x²-256x+256＜0
解得：

16

9

＜x＜

16

7

且x≠2．

点评：本小题主要考查抽象函数及其应用、函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．