Question

13．已知f（x）=|lnx|，设0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是（　　）

• A． [3，+∞）
• B． （3，+∞）
• C． $[2\sqrt{2}，+∞）$
• D． $（2\sqrt{2}，+∞）$

Answer 1

分析 先画出函数f（x）=|lnx|的图象，利用对数的性质即可得出ab的关系式，再利用函数的单调性的性质即可求出范围．

解答 解：∵f（x）=|lnx|=$\left\{\begin{array}{l}{-lnx，0＜x＜1}\\{lnx，x≥1}\end{array}\right.$，画出图象：
∵0＜a＜b且f（a）=f（b），∴0＜a＜1＜b，-lna=lnb，
∴ln（ab）=0，∴ab=1．
∴a+2b=a+$\frac{2}{a}$的导数为1-$\frac{2}{{a}^{2}}$，
可得在0＜a＜1时递减，
即有a+2b＞3，
∴a+2b的取值范围是（3，+∞）．
故选B．

点评 熟练掌握数形结合的思想方法、对数的性质和函数的单调性的性质是解题的关键．