Question

已知

π

4

＜α＜

3

4

π，0＜β＜

π

4

，且cos(

π

4

-α)=

3

5

，sin(

3

4

π+β)=

5

13

，求sin（α+β）的值．

Answer 1

分析：由α的范围求出

π

4

-α的范围，根据cos（

π

4

-α）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（

π

4

-α）的值，根据β的范围求出

3

4

π+β的范围，根据sin（

3

4

π+β）的值求出cos（

3

4

π+β）的值，所求式子利用诱导公式变形，角度变形后利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．

解答：解：由

π

4

＜α＜

3

4

π，得到-

π

2

＜

π

4

-α＜0，
∵cos（

π

4

-α）=

3

5

，∴sin（

π

4

-α）=-

4

5

，
由0＜β＜

π

4

，得到

3

4

π＜

3

4

π+β＜π，
∵sin（

3

4

π+β）=

5

13

，∴cos（

3

4

π+β）=-

12

13

，
则sin（α+β）=-cos[

π

2

+（α+β）]=-cos[（

3

4

π+β）-（

π

4

-α）]
=-[cos（

3

4

π+β）cos（

π

4

-α）+sin（

3

4

π+β）sin（

π

4

-α）]=-（-

12

13

）×

3

5

-

5

13

×（-

4

5

）=

56

65

．

点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．