Question

由y=0，x=8，y=x²围成的曲边三角形，在曲线弧OB上求一点M，使得过M所作的y=x²的切线PQ与OA，AB围成的三角形PQA面积最大．

Answer 1

分析：首先根据已知条件求出切线方程，接着求出P，Q点的坐标，再列出关于面积的式子，利用导数求函数最值的方法求解即可．

解答：解：如图，设点M（t，t²），
y=x²中，y′=2x，f′（t）=2t；
则过点M的切线的斜率为2t，即切线方程为y-t²=2t（x-t），（0≤t≤8）
当t=0时，切线为y=0，△PQA不存在，所以（0＜t≤8）．
在切线方程中令y=0，得到P点的横坐标为

t

2

，令x=8，得到Q点的纵坐标为16t-t²
所以S_△PQA=

1

2

（8-

t

2

）（16t-t²），
令S′（t）=（8-

t

2

）（8-

3t

2

）=0；
解可得得t=16（舍去）或t=

16

3

；
由二次函数的性质分析易得，
t=

16

3

是S_△PQA=

1

2

（8-

t

2

）（16t-t²）的极大值点；
从而当t=

16

3

时，面积S（t）有最大值S_max=S（

16

3

）=

4096

27

，此时M（

16

3

，

256

9

）

点评：本题综合性较强，主要考查导数的几何意义的应用，还考查了用导数求函数的最值问题，本题符合高考考试大纲，是一道不可多得的好题，有一定的代表性．