Question

设函数f（x）=

x2-ax+5a(x≥2) ax+5(x＜2)

（a为常数），
（1）对任意x₁，x₂∈R，当 x₁≠x₂时，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，求实数a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求g（x）=x²-4ax+3在区间[1，3]上的最小值h（a）．

Answer 1

考点：分段函数的应用,函数的最值及其几何意义

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由已知可得函数f（x）在R上递增，则有a＞0①，

a

2

≤2②，2a+5≤2²-2a+5③解出它们即可；
（2）求得g（x）的对称轴，讨论对称轴与区间的关系，分①当2≤2a≤3，②当3＜2a≤8时，分别求得最小值即可．

解答： 解：（1）对任意x₁，x₂∈R，当 x₁≠x₂时，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
则函数f（x）在R上递增，即有a＞0①，

a

2

≤2②，2a+5≤2²-2a+5③
则由①②③，解得1≤a≤4；
（2）g（x）=x²-4ax+3=（x-2a）²+3-4a²，对称轴x=2a，
由（1）得，2≤2a≤8，
①当2≤2a≤3即1≤a≤

3

2

时，g（x）_min=g（2a）=3-4a²，
②当3＜2a≤8即

3

2

＜a≤4时，区间[1，3]为减区间，则g（x）_min=g（3）=12-12a．
故h（a）=

3-4a2，1≤a≤ 3 2 12-12a， 3 2 ＜a≤4

．

点评：本题考查分段函数及运用，考查函数的单调性和应用，注意分界点，考查分类讨论求二次函数的最值问题，属于中档题和易错题．