Question

直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝AA₁，∠CAB＝.

(1)证明：CB₁⊥BA₁；
(2)已知AB＝2，BC＝，求三棱锥C₁－ABA₁的体积．

Answer 1

（1）证明详见解析；（2）

试题分析：（1）连结AB₁，则AC⊥BA₁.，又∵AB＝AA₁，∴四边形ABB₁A₁是正方形，∴BA₁⊥AB₁，由直线与平面垂直的判定定理可的BA₁⊥平面CAB₁，故CB₁⊥BA₁.（2）首先求出A₁C₁的值，由(1)知，A₁C₁⊥平面ABA₁，即A₁C₁是三棱锥C₁－ABA₁的高，然后在求出△ABA₁的面积，最后根据棱锥的体积公式求解即可.
试题解析：解：(1)证明：如图，连结AB₁，

∵ABC－A₁B₁C₁是直三棱柱，∠CAB＝，
∴AC⊥平面ABB₁A₁，故AC⊥BA₁.  3分
又∵AB＝AA₁，∴四边形ABB₁A₁是正方形，
∴BA₁⊥AB₁，又CA∩AB₁＝A.
∴BA₁⊥平面CAB₁，故CB₁⊥BA₁.                 6分
(2)∵AB＝AA₁＝2，BC＝，∴AC＝A₁C₁＝1，     8分
由(1)知，A₁C₁⊥平面ABA₁，                    10分
∴VC₁－ABA₁＝S△ABA₁·A₁C₁＝×2×1＝.        12分