Question

在平面直角坐标系上，设不等式组（n∈N^*）表示的平面区域为D_n，记D_n内的整点（横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n+1=2b_n+a_n，b₁=-13．求证：数列{b_n+6n+9}是等比数列，并求出数列{b_n} 的通项公式．

Answer 1

解：（1）根据题意，由x＞0，y≥0，-2n（x-3）≥y≥0得0＜x≤3，
所以平面区域为D_n内的整点为点（3，0）与在直线x=1和x=2上，
∴直线y=-2n（x-3）与直线x=1和x=2交点纵坐标分别为y₁=4n和y₂=2n…（6分）
∴D_n内在直线x=1和x=2上的整点个数分别为4n+1和2n+1，
∴a_n=4n+1+2n+1+1=6n+3 …（7分）
（2）由 b _n+1=2b_n+a_n得
b_n+1=2b_n+6n+3 …（8分）
∴b_n+1+6（n+1）+9=2（b_n+6n+9）…（9分）
∵b₁+6+9=2 …（10分）
∴{b_n+6n+9}是以2为首项，公比为2的等比数列…（11分）
∴b_n+6n+9=2ⁿ …（12分）
∴b_n=2ⁿ-6n-9．…（13分）
分析：（1）由x＞0，y≥0，-2n（x-3）≥y≥0得0＜x≤3，所以平面区域为D_n内的整点为点（3，0）与在直线x=1和x=2上，从而可得结论；
（2）由 b _n+1=2b_n+a_n得 b_n+1+6（n+1）+9=2（b_n+6n+9）从而有 {b_n+6n+9}是以2为首项，公比为2的等比数列由此可数列{b_n+6n+9}的通项，进而可得数列{a_n}的通项．
点评：本题考查数列的性质和应用，考查二元一次不等式（组）与平面区域，考查学生分析解决问题的能力．