【题目】下列函数既是奇函数,又在[﹣1,1]上单调递增是( )
A.f(x)=|sinx|
B.f(x)=ln
C.f(x)= (ex﹣e﹣x)
D.f(x)=ln( ﹣x)
【答案】C
【解析】解:根据题意,依次分析选项: 对于A、f(x)=|sinx|,有f(﹣x)=|sin(﹣x)|=|sinx|=f(x),为偶函数,不符合题意,
对于B、f(x)=ln ,有
>0,解可得﹣2<x<2,即其定义域为(﹣2,2),关于原点对称,又由f(﹣x)=ln
=﹣f(x),为奇函数,
令t= =﹣1+
,在区间(﹣1,1)上为减函数,而y=lnt为增函数,
而f(x)=ln 在区间(﹣1,1)上为减函数,不符合题意,
对于C、f(x)= (ex﹣e﹣x),其定义域为R,关于原点对称,又由f(﹣x)=
(e﹣x﹣ex)=﹣f(x),为奇函数,
函数y=ex为增函数,而函数y=e﹣x为减函数,
故函数f(x)= (ex﹣e﹣x)在区间(﹣1,1)上为增函数,符合题意,
对于D、f(x)=ln( ﹣x),有
﹣x>0,解可得x∈R,其定义域为R,关于原点对称,又由f(﹣x)=﹣f(x),为奇函数;
令t= ﹣x=
,在区间(﹣1,1)为减函数,而y=lnt为增函数,
故f(x)=ln( ﹣x)在区间(﹣1,1)上为减函数,不符合题意,
故选:C.
【考点精析】本题主要考查了函数单调性的判断方法和函数的奇偶性的相关知识点,需要掌握单调性的判定法:①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量,且x1<x2;②判定f(x1)与f(x2)的大小;③作差比较或作商比较;偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称才能正确解答此题.
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【题目】如图,M是矩形ABCD的边CD上的一点,AC与BM交于点N,BN=BM.
(1)求证:M是CD的中点;
(2)若AB=2,BC=1,H是BM上异于点B的一动点,求的最小值.
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【题目】已知函数f(x)=|x﹣a|,g(x)=x2+2ax+1(a为正实数),满足f(0)=g(0);
函数F(x)=f(x)+g(x)+b定义域为D.
(1)求a的值;
(2)若存在x0∈D,使F(x0)=x0成立,求实数b的取值范围;
(3)若n为正整数,证明:<4.
(参考数据:lg3=0.3010, =0.1342,
=0.0281,
=0.0038)
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【题目】设斜率为2的直线l,过双曲线的右焦 点,且与双曲线的左、右两支分别相交,则双曲线离心率,e的取值范围是 ( )
A. e> B. e>
C. 1<e<
D. 1<e<
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【题目】已知函数f(x)=x2+|x|﹣|x﹣5|+2.
(1)求不等式f(x)<0的解集;
(2)若关于x的不等式|f(x)|≤m的整数解仅有11个,求m的取值范围.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆
:
的离心率
,左顶点为
,过点
作斜率为
的直线
交椭圆
于点
,交
轴于点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知为
的中点,是否存在定点
,对于任意的
都有
,若存在,求出点
的
坐标;若不存在说明理由;
(3)若过点作直线
的平行线交椭圆
于点
,求
的最小值.
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【题目】已知椭圆Г: (a>b>0)的左、右焦点分别为F1 , F2 , 离心率为
,F2与椭圆上点的连线的中最短线段的长为
﹣1.
(1)求椭圆Г的标准方程;
(2)已知Г上存在一点P,使得直线PF1 , PF2分别交椭圆Г于A,B,若 =2
,
=λ
(λ>0),求λ的值.
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