Question

用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值，比如a≥b时，则min{a，b}=b，已知函数f（x）=min{x²，2x+3}，
（1）求出函数y=f（x）解析式；
（2）求函数的单调区间并求出函数y=f（x）在[，]的值域．

Answer 1

解：（1）由方程x²=2x+3，
得交点坐标为（-1，1），（3，9），
∴f（x）=．
（2）画出此函数的图象，如图，
由图可知：函数的单调增区间（-∞，-1]，[0，+∞），单调减区间（-1，0），
当x=-时，f（x）=2×+3=，
当x=时，f（x）==，
当x=-1时，f（x）=1，此时f（x）的值最大，最大值为1．
函数y=f（x）在[，]的值域[0，1]．
分析：（1）先根据符号：min{a，b}的含义化简函数f（x）的表达式，变成分段函数的形式，
（2）再画出函数的图象，得求函数的单调区间，再在每一段上求出函数的值域，最后把各段值域取并集．
点评：本题考查用数形结合的方法求函数的解析式、单调区间、值域，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．