Question

如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE，FA=FE，∠AEF=45°
（I）求证：EF⊥平面BCE；
（Ⅱ）设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证：PM∥平面BCE；
（Ⅲ）求二面角F-BD-A的大小．

Answer 1

分析：（1）欲证EF⊥平面BCE，根据线面垂直的判定定理可知只需证EF⊥BE，BC⊥EF，BC∩BE=B，根据条件很显然；
（2）取BE的中点N，连接CN，MN，易证PM∥CN，根据线面平行的判定定理很快得证；
（3）作FG⊥AB，交BA的延长线于G，作GH⊥BD于H，连接FH，易证∠FHG为二面角F-BD-A的平面角，在Rt△FGH中求出此角即可．

解答：解：因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB，
所以BC⊥平面ABEF
所以BC⊥EF
因为△ABE为等腰直角三角形，AB=AE，
所以∠AEB=45°，
又因为∠AEF=45，
所以∠FEB=90°，即EF⊥BE
因为BC?平面ABCD，BE?平面BCE，
BC∩BE=B
所以EF⊥平面BCE

（ II）取BE的中点N，连接CN，MN，则MN=

1

2

AB=PC
∴PMNC为平行四边形，所以PM∥CN
∵CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，
∴PM∥平面BCE．

（III）由EA⊥AB，平面ABEF⊥平面ABCD，易知EA⊥平面ABCD、
作FG⊥AB，交BA的延长线于G，则FG∥EA、从而FG⊥平面ABCD，
作GH⊥BD于H，连接FH，则由三垂线定理知BD⊥FH、
∴∠FHG为二面角F-BD-A的平面角、
∵FA=FE，∠AEF=45°，
∠AEF=90°，∠FAG=45°、
设AB=1，则AE=1，AF=

2

2

，则FG=AF•sinFAG=

1

2

在Rt△BGH中，∠GBH=45°，BG=AB+AG=1+

1

2

=

3

2

，
GH=BG•sinGBH=

3

2

•

2

2

=

3 2

4

，
在Rt△FGH中，tanFHG=

FG

GH

=

2

3

，
∴二面角F-BD-A的大小为arctan

2

3

点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．