Question

4．在封闭的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA₁=5，则V的最大值是（　　）

• A． 4π
• B． $\frac{9π}{2}$
• C． $\frac{125π}{6}$
• D． $\frac{32π}{3}$

Answer 1

分析 先保证截面圆与△ABC内切，记圆O的半径为r，由等面积法得（AC+AB+BC）r=6×8，解得r=2．由于三棱柱高为5，此时可以保证球在三棱柱内部，球的最大半径为2，由此能求出结果．

解答 解：如图，由题知，球的体积要尽可能大时，球需与三棱柱内切．
先保证截面圆与△ABC内切，记圆O的半径为r，
则由等面积法得${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}AC\;•\;r+\frac{1}{2}AB\;•\;r+\frac{1}{2}BC\;•\;r=\frac{1}{2}×6×8$，
所以（AC+AB+BC）r=6×8，又AB=6，BC=8，
所以AC=10，所以r=2．由于三棱柱高为5，此时可以保证球在三棱柱内部，
若r增大，则无法保证球在三棱柱内，
故球的最大半径为2，所以$V=\frac{32π}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查球的最大体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．