Question

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA1=

2

，AB=1，E是DD₁的中点．
（Ⅰ）求直线B₁D和平面A₁ADD₁所成角的大小；
（Ⅱ）求证：B₁D⊥AE；
（Ⅲ）求二面角C-AE-D的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连接A₁D，根据题意可知A₁D是B₁D在平面A₁ADD₁上的射影，从而得到∠A₁DB₁是直线B₁D和平面A₁ADD₁所成的角，
在Rt△B₁A₁D中，求出此角即可；
（Ⅱ）根据比例关系可知△A₁AD～△ADE，从而得到∠A₁DA=∠AED，根据角与角的关系可知A₁D⊥AE，而A₁D是B₁D在平面A₁ADD₁上的射影，最后根据三垂线定理得结论；
（Ⅲ）设A₁D∩AE=F，连接CF，根据二面角的平面角的定义可知∠DFC是二面角C-AE-D的平面角，在Rt△ADE中，求出DF，在Rt△FDC中，求出角DFC，从而求出二面角C-AE-D的大小．

解答：解：（Ⅰ）连接A₁D．∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，
∴A₁B₁⊥平面A₁ADD₁，
∴A₁D是B₁D在平面A₁ADD₁上的射影，
∴∠A₁DB₁是直线B₁D和平面A₁ADD₁所成的角（2分）
在Rt△B₁A₁D中，tanA1DB1=

A1B1

A1D

=

3

3

，
∴∠A₁DB₁=30°，
即直线B₁D和平面A₁ADD₁所成角的大小是30°（4分）

（Ⅱ）证明：在Rt△A₁AD和Rt△ADE中，
∵

A1A

AD

=

AD

DE

=

2

，
∴△A₁AD～△ADE，∴∠A₁DA=∠AED．
∴∠A₁DA+∠EAD=∠AED+∠EAD=90°，
∴A₁D⊥AE（7分）
由（Ⅰ）知，A₁D是B₁D在平面A₁ADD₁上的射影，
根据三垂线定理得，B₁D⊥AE（9分）

（Ⅲ）设A₁D∩AE=F，连接CF．∵CD⊥平面A₁ADD₁，且AE⊥DF，
根据三垂线定理得，AE⊥CF，∴∠DFC是二面角C-AE-D的平面角（11分）
在Rt△ADE中，由AD•DE=AE•DF?DF=

AD•DE

AE

=

3

3

．
在Rt△FDC中，tanDFC=

CD

DF

=

3

，∴∠DFC=60°，
即二面角C-AE-D的大小是60°（14分）

点评：本题主要考查了线面所成角，以及三垂线定理和二面角的度量，同时考查了空间想象能力，计算能力和转化与划归的思想，属于中档题．