Question

已知函数f（x）=（x²+ax-2a-3）e^x，
（Ⅰ）若x=2是函数f（x）的一个极值点，求实数a的值；
（Ⅱ）设a＜0，当x∈[1，2]时，函数f（x）的图象恒不在直线y=e²上方，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由x=2是函数f（x）=（x²+ax-2a-3）e^x的一个极值点，可得到x=2是f′（x）=0的根，从而求出a．
（II）当x∈[1，2]时，函数f（x）的图象恒不在直线y=e²上方，等价于x∈[1，2]，f（x）_max≤e^x恒成立．由（I）知，f′（x）=（x+a+3）（x-1）e^x，令f′（x）=0，得x₁=-a-3，x₂=1，由此能求出实数a的取值范围．

解答：解：（I）由f（x）=（x²+ax-2a-3）e^x可得
f′（x）=（2x+a）e^x+（x²+ax-2a-3）e^x
=[x²+（2+a）x-a-3]e^x，（4分）
∵x=2是函数f（x）的一个极值点，
∴f′（2）=0
∴（a+5）e²=0，解得a=-5．（6分）
代入f′（x）=（x+a+3）（x-1）e^x=（x-2）（x-1）e^x，
当1＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0，
∴x=2是f（x）的极值．
∴a=-5．
（II）当x∈[1，2]时，函数f（x）的图象恒不在直线y=e²上方，
等价于x∈[1，2]，f（x）≤e^x恒成立，
即x∈[1，2]，f（x）_max≤e^x恒成立．
由（I）知，f′（x）=（x+a+3）（x-1）e^x，
令f′（x）=0，得x₁=-a-3，x₂=1，
当a≤-5时，-a-3≥2，∴f（x）在x∈[1，2]单调减，
f(x)max=f(1)=(-a-2)e≤e2，a≥-e-2与a≤-5矛盾，舍去．
当-5＜a＜-4时，1＜-a-3＜2，
f（x）在x∈（1，-a-3）上单调递减，在x∈（-a-3，2）上单调递增，
∴f（x）_max在f（1）或f（2）处取到，
f（1）=（-a-2）e，f（2）=e²，
∴只要f（1）=（-a-2）e≤e²，
解得-e-2≤a＜-4．
当-4≤a＜0时，-a-3≤1，
f（x）在x∈[1，2]上单调增，f(x)max=f(2)=ex，符合题意，
∴实数a的取值范围是[-e-2，0）．

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，易错点是当x∈[1，2]时，函数f（x）的图象恒不在直线y=e²上方，等价于x∈[1，2]，f（x）_max≤e^x恒成立．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．