Question

在等比数列{a_n}中，a_n＞0（n∈N*），公比q∈（0，1），且a₃+a₅=5，又a₃与a₅的等比中项为2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=5-log₂a_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，求数列{S_n}的通项公式；
（3）设T_n=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

，求T_n．

Answer 1

分析：（1）直接利用a₃+a₅=5，以及a₃与a₅的等比中项为2即可求出a₃和a₅，进而求出数列{a_n}的通项公式；
（2）先把（1）的结论代入整理出数列{b_n}的通项公式，得数列{b_n}为等差数列，再代入等差数列的求和公式即可；
（3）先利用（2）的结论知

1

S

n=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），再代入求和即可．

解答：解：（1）a_n＞0，∴a₃+a₅=5，又a₃与a₅的等比中项为2，∴a₃a₅=4，而q∈（0，1），
∴a₃＞a₅，∴a₃=4，a₅=1，∴q=

1

2

，a₁=16，
∴a_n=16×(

1

2

)n-1=2^5-n；
（2）b_n=5-log₂a_n=5-（5-n）=n，∴b_n+1-b_n=1，
∴{b_n}是以b₁=1为首项，1为公差的等差数列．
∴S_n=

n(n+1)

2

；
（3）由（2）知

1

S

n=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

）
∴T_n=

1

S1

+

1

S2

++

1

Sn

=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）++（

1

n

-

1

n+1

）=2（1-

1

n+1

）=

2n

n+1

；

点评：本题考查等差数列与等比数列的基础知识以及数列求和的裂项法，是对基础知识的考查，属于中档题．