【题目】2020年开始,国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科,采用3+3模式,其中语文、数学、外语三科为必考科目,满分各150分,另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求,结合自己的兴趣爱好等因素,在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试(6选3),每科目满分100分.为了应对新高考,某高中从高一年级1000名学生(其中男生550人,女生 450 人)中,采用分层抽样的方法从中抽取名学生进行调查.
(1)已知抽取的名学生中含女生45人,求的值及抽取到的男生人数;
(2)学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目,为了了解学生对这两个科目的选课情况,对在(1)的条件下抽取到的名学生进行问卷调查(假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目),下表是根据调查结果得到的列联表. 请将列联表补充完整,并判断是否有 99%的把握认为选择科目与性别有关?说明你的理由;
(3)在抽取到的45名女生中按(2)中的选课情况进行分层抽样,从中抽出9名女生,再从这9名女生中抽取4人,设这4人中选择“地理”的人数为,求的分布列及期望.
选择“物理” | 选择“地理” | 总计 | |
男生 | 10 | ||
女生 | 25 | ||
总计 |
,其中.
0.05 | 0.01 | |
p> | 3.841 | 6.635 |
【答案】(1),男生人数为55人(2)见解析(3)见解析
【解析】
(1)由题意得,解方程即得的值及抽取到的男生人数.(2)根据已知完成2×2列联表,再利用独立性检验求出,所以有99%的把握认为选择科目与性别有关.(3)先写出的分布列再求其期望.
(1)由题意得,解得,男生人数为:550×=55人.
(2)2×2列联表为:
选择“物理” | 选择“地理” | 总计 | |
男生 | 45 | 10 | 55 |
女生 | 25 | 20 | 45 |
总计 | 70 | 30 | 100 |
,
所以有99%的把握认为选择科目与性别有关.
(3)从45名女生中分层抽样抽9名女生,所以这9名女生中有5人选择物理,4人选择地理,9名女生中再选择4名女生,则这4名女生中选择地理的人数可为0,1,2,3,4。
设事件发生概率为,
则,,,
, .
的分布列为:
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
期望.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.
(I)求张同学至少取到1道乙类题的概率;
(II)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是,答对每道乙类题的概率都是,且各题答对与否相互独立.用表示张同学答对题的个数,求的分布列和数学期望.
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【题目】已知抛物线上一点到焦点的距离,倾斜角为的直线经过焦点,且与抛物线交于两点、.
(1)求抛物线的标准方程及准线方程;
(2)若为锐角,作线段的中垂线交轴于点.证明:为定值,并求出该定值.
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【题目】一次数学考试后,对高三文理科学生进行抽样调查,调查其对本次考试的结果满意或不满意,现随机抽取名学生的数据如下表所示:
满意 | 不满意 | 总计 | |
文科 | 22 | 18 | 40 |
理科 | 48 | 12 | 60 |
总计 | 70 | 30 | 100 |
(1)根据数据,有多大的把握认为对考试的结果满意与科别有关;
(2)用分层抽样方法在感觉不满意的学生中随机抽取名,理科生应抽取几人;
(3)在(2)抽取的名学生中任取2名,求文科生人数的期望.(其中)
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】已知椭圆:的左、右焦点分别为,点在椭圆上,且满足.
(1)求椭圆的方程;
(2)设倾斜角为的直线与交于,两点,记的面积为,求取最大值时直线的方程.
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【题目】椭圆:的左焦点为且离心率为,为椭圆上任意一点,的取值范围为,.
(1)求椭圆的方程;
(2)如图,设圆是圆心在椭圆上且半径为的动圆,过原点作圆的两条切线,分别交椭圆于,两点.是否存在使得直线与直线的斜率之积为定值?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
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【题目】设、为抛物线上的两点,与的中点的纵坐标为4,直线的斜率为.
(1)求抛物线的方程;
(2)已知点,、为抛物线(除原点外)上的不同两点,直线、的斜率分别为,,且满足,记抛物线在、处的切线交于点,线段的中点为,若,求的值.
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【题目】在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为=(>0),过点的直线的参数方程为(t为参数),直线与曲线C相交于A,B两点.
(Ⅰ)写出曲线C的直角坐标方程和直线的普通方程;
(Ⅱ)若,求的值.
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