Question

（2013•天津模拟）已知函数f（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…+

x2013

2013

，g（x）=1-x+

x2

2

-

x3

3

+

x4

4

-…-

x2013

2013

，设函数F（x）=f（x+3）•g（x-4），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b-a的最小值为（　　）

A．8

B．9

C．10

D．11

Answer 1

分析：可通过导数法求得f（x）与g（x）的零点，从而可得f（x+3）和g（x-4）的零点，继而可求得F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）的具体区间，从而可求得b-a的最小值．

解答：解：∵f（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…+

x2013

2013

，
∴f′（x）=（1-x）+（x²-x³）+…+x²⁰¹²
=（1-x）（1+x²+x⁴+…+x²⁰¹⁰）+x²⁰¹²
当x=-1时，f′（x）=2×1006+1=2013＞0，
当x≠-1时，f′（x）=（1-x）（1+x²+x⁴+…+x²⁰¹⁰）+x²⁰¹²
=（1-x）•

1-(x2)1006

1-x2

+x²⁰¹²
=

1+x2013

1+x

＞0，
∴f（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…+

x2013

2013

在R上单调递增；
又f（0）=1，
f（-1）=-

1

2

-

1

3

-

1

4

-…-

1

2013

＜0，
∴f（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…+

x2013

2013

在（-1，0）上有唯一零点，
由-1＜x+3＜0得：-4＜x＜-3，
∴f（x+3）在（-4，-3）上有唯一零点．
∵g（x）=1-x+

x2

2

-

x3

3

+

x4

4

-…-

x2013

2013

，
∴g′（x）=（-1+x）+（-x²+x³）+…-x²⁰¹²
=-[（1-x）+（x²-x³）+…+x²⁰¹²]
=-f′（x）＜0，
∴g（x）在R上单调递减；
又g（1）=（

1

2

-

1

3

）+（

1

4

-

1

5

）+…+（

1

2012

-

1

2013

）＞0，
g（2）=-1+（

22

2

-

23

3

）+（

24

4

-

25

5

）+…+（

22012

2012

-

22013

2013

），
∵n≥2时，

2n

n

-

2n+1

n+1

=

2n(1-n)

n(n+1)

＜0，
∴g（2）＜0．
∴g（x）在（1，2）上有唯一零点，
由1＜x-4＜2得：5＜x＜6，
∴g（x-4）在（5，6）上有唯一零点．
∵函数F（x）=f（x+3）•g（x-4），
∴F（x）的零点即为f（x+3）和g（x-4）的零点．
∴F（x）的零点区间为（-4，-3）∪（5，6）．
又b，a∈Z，
∴（b-a）_min=6-（-4）=10．
故选C．

点评：本题考查函数的零点，考查利用导数判断函数的单调性及零点存在定理的应用，考查综合分析与转化的能力，属于难题．