Question

如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C是菱形，AC₁与A₁C交于点O，E是AB的中点．求证：
（1）OE∥平面BCC₁B₁；
（2）若AC₁⊥A₁B，求证：AC₁⊥BC．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）首先通过连接对角线得到中点，进一步利用中位线，得到线线平行，进一步利用线面平行的判定定理，得到结论．
（2）利用菱形的对角线互相垂直，进一步利用线面垂直的判定定理，得到线面垂直，最后转化成线线垂直．

解答： 证明：（1）连结BC₁．
∵侧面AA₁C₁C是菱形，AC₁与A₁C交于点O
∴O为AC₁的中点
∵E是AB的中点
∴OE∥BC₁；     
∵OE?平面BCC₁B₁，BC₁?平面BCC₁B₁
∴OE∥平面BCC₁B₁
（2）∵侧面AA₁C₁C是菱形
∴AC₁⊥A₁C
∵AC₁⊥A₁B，A₁C∩A₁B=A₁，A₁C?平面A₁BC，A₁B?平面A₁BC
∴AC₁⊥平面A₁BC
∵BC?平面A₁BC
∴AC₁⊥BC．

点评：本题考查的知识要点：线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理和性质定理，属于基础题型．