Question

对正整数n，设曲线y=xⁿ（1-x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a_n，则数列{

an

n+1

}的前n项和的公式是（　　）

• A、2ⁿ
• B、2ⁿ-2
• C、2ⁿ⁺¹
• D、2ⁿ⁺¹-2

Answer 1

分析：先求出x=2时曲线方程的导函数，进而可知切线方程，令x=0进而求得数列{

an

n+1

}的通项公式，可得数列{a_n}的通项公式，最后用错位相减法求得答案．

解答：解：∵y'|_x=2=-2^n-1（n+2），
∴切线方程为：y+2ⁿ=-2^n-1（n+2）（x-2），
令x=0，求出切线与y轴交点的纵坐标为y₀=（n+1）2ⁿ，
所以

an

n+1

=2n，则数列{

an

n+1

}的前n项和Sn=

2(1-2n)

1-2

=2n+1-2

点评：本题主要考查了数列的求和问题．当数列由等比和等差数列构成时，常可用错位相减法求和．