Question

在数列{a_n}中，a₁=4且对于任意的自然数n∈N⁺都有a_n+1=2（a_n-n+1）
（I）证明数列{a_n-2n}是等比数列．
（II）求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n．

Answer 1

分析：（I）用第n+1项除以第n项，将已知等式代入，求出商是常数，利用等比数列的定义得证．
（II）利用等比数列的通项公式求出a_n-2n，求出a_n，据a_n是有一个等差数列与一个等比数列的和构成的，所以利用分组法求出前n项和．

解答：解：（I）∵a_n+1=2（a_n-n+1）
∴

an+1-2(n+1)

an-2n

=

2(an-n+1)-2(n+1)

an-2n

=

2(an-2n)

an-2n

=2
∴数列{a_n-2n}是以a₁-2=2为首项，以2为公比的等比数列
（II）由（I）可得
a_n-2n=2•2^n-1=2ⁿ
∴a_n=2ⁿ+2n
∴Sn=

2-2n+1

1-2

+

(2+2n)n

2

=2ⁿ⁺¹-2+n²+n

点评：在求数列的前n项和时，先判断数列通项的特点，据特点选择合适的求和方法．