Question

如图，已知AB是⊙O的直径，AC为弦，且平分∠BAD，AD⊥CD，垂足为D．
（1）求证：CD是⊙O切线；
（2）若⊙O的直径为4，AD=3，求∠BAC的度数．

Answer 1

分析：（1）连接OC，证明∠OCD=90°，得出CD是⊙O切线．
（2）连接BC，证明△BAC∽△CAD，求出AC的长度，再求出∠BAC的余弦，得出∠BAC的度数．

解答：证明：（1）连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC．
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD．
∴∠OCA=∠CAD．
∴OC∥AD．
又∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD．
∴OC是⊙O的切线．
（2）连接BC，
∵AB是直径，
∴∠BCA=90°．
∴∠BCA=∠ADC=90°．
∵∠BAC∠=∠CAD，
∴△BAC∽△CAD．
∴

AB

AC

=

AC

AD

即

4

AC

=

AC

3

．
∴AC=2

3

．
在Rt△ABC中，cos∠BAC=

AC

AB

=

3

2

．
∴∠BAC=30°．

点评：本题主要考查了圆的切线的判定定理的证明．连接半径是证明切线的一种常用辅助线的做法，求角的度数可以借助于三角函数．