Question

（2012•上高县模拟）如图，椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点F₂与抛物线y²=4x的焦点重合，过F₂作与x轴垂直的直线l与椭圆交于S，T，而与抛物线交于C，D两点，且

|CD|

|ST|

=2

2

．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若过m（2，0）的直线与椭圆E相交于两点A和B，设P为椭圆E上一点，且满足

OA

+

OB

=t

OP

（O为坐标原点），求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由焦点F₂（1，0），过F₂作与x轴垂直的直线l与椭圆交于S，T，而与抛物线交于C，D两点，且

|CD|

|ST|

=2

2

，知|CD|=4，|ST|=

2

，由此能求出椭圆方程．
（2）设过m（2，0）的直线为y=k（x-2），由

x2+2y2=2 y=k(x-2)

，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），

x1+x2=tx0 y1+y2=ty0

，由此结合题设条件能求出实数t的取值范围．

解答：解：（1）∵椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点F₂与抛物线y²=4x的焦点重合，
∴焦点F₂（1，0），
∵过F₂作与x轴垂直的直线l与椭圆交于S，T，而与抛物线交于C，D两点，且

|CD|

|ST|

=2

2

．
∴|CD|=4，解得|ST|=

2

，
∴a=

2

，b=1，c=1，
∴椭圆E的方程是

x2

2

+y2=1．
（2）设过m（2，0）的直线为y=k（x-2），
由

x2+2y2=2 y=k(x-2)

，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），

x1+x2=tx0 y1+y2=ty0

，
则

x0= 1 t (x1+x2)= 1 t • 8k2 1+2k2 y0= 1 t (y1+y2)= 1 t (kx1-2k+kx2-2k)= 1 t • -4k2 1+2k2

，
2=x02+2y02=

1

t2

[(

8k2

1+2k2

)2+

32k2

(1+2k2)2

]，
∴

1

8

t2=

4k4+2k2

(1+2k2)2

，
∵△=（8k²）²-4（1+2k²）（8k²-2）＞0，
∴0≤2k²＜1，

1

8

t2=

(2k2)2+2k2

(1+2k2)2

=1-

1

1+2k2

，
∴t∈（-2，2）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．